Для решения уравнения

$$x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3=0 \qquad (1)$$

преобразуем его левую часть следующим образом:

$\begin{multline} x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3 = x^4(x-1) - 2x^2(x-1) - 3(x-1) = \\ = (x-1)(x^4 - 2x^2 - 3). \end{multline}$

Уравнение (1) принимает следующий вид:

$(x-1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0.$

Отсюда

$1.\quad x-1=0 \implies x_1 = 1.$

$2.\quad x^4 - 2x^2 - 3 = 0$

$x^2 = y$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

$D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot (-3) = 4+12 = 16 > 0$

$y_{1,2}= \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2\cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} = 1 \pm 2$

$y_1 = 1-2 = -(2-1) = -1$

$y_2 = 1+2 = 3$

$x^2 = -1$ - это уравнение не имеет действительных корней (так как квадрат действительного числа не равен отрицательному числу).

$x^2 = 3 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

Таким образом, данное уравнение имеет следующие действительные корни:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = -\sqrt{3}, \quad x_3 = \sqrt{3}.$$