Для решения уравнения

\[x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3=0 \qquad (1)\]

преобразуем его левую часть следующим образом:

\(\begin{multline}
x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3 = x^4(x-1) - 2x^2(x-1) - 3(x-1) = \\
= (x-1)(x^4 - 2x^2 - 3).
\end{multline}\)

Уравнение (1) принимает следующий вид:

\((x-1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0.\)

Отсюда

\(1.\quad x-1=0 \implies x_1 = 1.\)

\(2.\quad x^4 - 2x^2 - 3 = 0\)

\(x^2 = y\)

\(y^2 - 2y - 3 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot (-3) = 4+12 = 16 > 0\)

\(y_{1,2}= \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2\cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} = 1 \pm 2\)

\(y_1 = 1-2 = -(2-1) = -1\)

\(y_2 = 1+2 = 3\)

\(x^2 = -1\) - это уравнение не имеет действительных корней (так как квадрат действительного числа не равен отрицательному числу).

\(x^2 = 3 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{3}\).

Таким образом, данное уравнение имеет следующие действительные корни:

\[x_1 = 1, \quad x_2 = -\sqrt{3}, \quad x_3 = \sqrt{3}.\]